Analysis. Pt.1

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5,00 €

Autoren
Verleger Springer, Berlin
Erscheinungsdatum: 2006
Sprache: DE
Einband: Paperback / softback
Seitenzahl: 598
Einstufung: Handbuch/Lehrbuch | Analysis
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Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1

1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Bindew orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18

1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20

1.3.5 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Erg anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Die M achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27

1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.3 S atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42

2.1.3 Das Vollst andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46

2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Die nat urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49

XVI Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim

Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.5 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Wichtige S atze zur Vollst andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.2 Der Satz zur endlichen Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.3 Der Satz vom H aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.4 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4 Abz ahlbare und uberabz ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.1 Abz ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2 Die M achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3 Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1 Der Gren
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